第七十八章 幸不辱命（1 / 2）

这种感觉很奇妙。

庞学林从来没有想过，原本用来解决数论问题的庞氏几何，竟然还能与非线性偏微分方程联系在一起。

突如其来的灵感突然发散出去，瞬间，各种奇思妙想开始在庞学林的脑海里涌现。

……

“在与曲面相关的偏微分方程组中，首先需要解决的，便是复结构的存在性问题！这一点，可以从一个经典的老问题入手！即：给定2n维实微分流形M上的一个近复结构J，什么时候这个近复结构是由复结构诱导出来的?”

……

“给定的近复结构J由某复结构诱导，当且仅当在每一点的某邻域内都有局部实坐标{x^1，x^2，x^3……x^2n-1，x^2n}，使得J∂xj=∂x^j+n，J∂x^j+n=-∂x^j，因为如果存在这样的局部坐标卡集，则复坐标卡集{x+ix^n+1，…，x^n+ix^2n}之间的转换函数便适合Cauchy-Riemann方程组，从而是全纯函数;逆命题则显然成立。接下来，可以把问题归结为寻找这样的好坐标系，或求解一些一阶线性微分方程组。”

……

“高维情形:Newlander-Nirenberg定理。近复结构M是(1，1)型张量场，故可以作用到余切丛上.在每一点p∈M处，复化切空间TpMc都可分解为相应于特征值±i的两个子空间的直和。根据连续性，便可得到复化切丛的直和分解……”

……

“引理：设M是紧Riemann流形。考虑其上的微分方程δu=f(x，u)，f：M*R→R是光滑函数。如果存在u-，u+∈C^2(M)使得u-≤u+，δu-+f(x，u-)≥0，δu++f(x，u+)≤0，则存在解x∈C^∞(M)满足u-≤u≤u+……”

……

时间一分一秒过去，一行行犹如天书一般的符号飞快在庞学林笔下流出，填满一张又一张稿纸。

庞学林徜徉在数学的海洋里，一步步完善庞氏几何的理论框架，充实其血肉上。

越是研究，庞学林越感觉到，自己所开创的庞氏几何理论，背后隐含着的广阔空间。

这就好比当年开创了群论的伽罗瓦，将代数研究提升到了一个全新的领域。

庞学林甚至隐隐意识到，当年格罗滕迪克老爷子为什么要研究远阿贝尔几何了。

庞氏几何是在远阿贝尔几何的基础上开创出来的，在庞氏几何的基础上，庞学林隐隐感觉到，代数与几何正在相互融合。

从笛卡尔时代，通过坐标轴将代数与几何有机结合起来，形成了解析几何学，再到黎曼开创代数几何学说，代数与几何这两门数学领域的重要支流，既有着极大的区别，彼此间又有着深刻的内在联系。

然而，在各大学科枝丫分叉越来越细的时代，想要将代数与几何这两大命题统一起来，几乎是一个不可能的任务。

但庞学林提出的这个庞氏几何理论，却让代数与几何隐隐有了汇流的趋势，两者之间真正有了沟通的桥梁。

或许当年格罗滕迪克老爷子也有类似的想法，只可惜老爷子走得早，只提出了远阿贝尔几何的一个理论框架。

如今，庞学林在远阿贝尔几何的基础上提出的庞氏几何，正在完成格罗滕迪克老爷子未尽的心愿。

这套理论不仅能解决数论领域的相关难题，甚至在非线性偏微分方程组领域，也有着重要的作用。

要知道，目前微分方程研究的主体便是非线性偏微分方程(NLPDE)。

很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。

现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE。

另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，